新生鳩丸掲示板♯

人狼ＢＢＳにおいて人狼を推定する場合に、モンティ・ホール問題の応用が出来るのかと思いましてPOSTしております。

【問】占い師が３名同時にＣＯしました。同時刻にＣＯしたか投票ＣＯ戦術を採用したかは問いませんがＣＯの順番は考慮の条件に含まれません。また、３名の自称占い師の過去の発言内容はどれも村人のようであり特に人狼を思わせるそぶりを見せていないものとします。また状況からみて３名のうち１名は人狼であり他の２名は人狼ではないものとします。その日の処刑は３名の占い師のうちの誰も対象ではありませんでした。

あなたは３名のうち１名を人狼であろうと仮定して行動計画を練っていたとします。仮に占い師Ａを人狼であろうと強く思っていたとしましょう。残りはＢとＣです。

さて、その日の夜がやってきて朝が来たところ３名のうち１名であるＣが人狼に襲撃されてしまいました。襲撃された自称占い師Ｃは人狼ではなかったことになります。ＡかＢが人狼であるのですが、あなたはＡ、Ｂのどちらが人狼である確率が高いと思いますか？

【仮の回答】当初Ａを人狼であろうと思っていたがＣが襲撃された事によりＢが人狼である確率が高くなった。具体的にはＡが人狼である確率は1/3、Ｂが人狼である確率は2/3である。

【検討事項】この「仮の回答」は真実なのでしょうか。以下の参考文献をお読み頂いてあいかわらずさっぱり頭の回らない私めにご教示下さい。

●モンティ・ホール問題 - Wikipedia

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C

なお、景品は人狼であり、司会者モンティが３つのドアのうちひとつを開けてそこに景品がないことを教えることは、襲撃に相当する、とお考え下さい。

　なんかすごい勢いで spam 扱いされていましたが、内容に問題があるというわけではなくて単に spam 判定ルーチンが過剰反応していたようです。ごめんなさい。

　#2523 とは内容がかぶっていたようですので、#2523 を消してこちらを復活させておきました。

>　なんかすごい勢いで spam 扱いされていましたが、内容に問題があるというわけではなくて単に spam 判定ルーチンが過剰反応していたようです。ごめんなさい。

>　#2523 とは内容がかぶっていたようですので、#2523 を消してこちらを復活させておきました。

ああ良かったぁ。ご配慮をありがとうございます。

投稿した親記事は鳩丸掲示板にふさわしくないかもしれません。以前に本掲示板で事象発生後の確率の話題が（スパムメールよけの為のベイズ推定ともあいまって？）出たことがありまして、モンティ・ホール問題も取り上げられておりました。（簡易な切り口でしたが。）その時の私の考えでは、『最初に選んだドア』を、司会者が『このドアはハズレでしたね、もういちと選びなおしても良いですよ？』と言われたからといって、『最初選んだのとは別のドア』を選ぶと有利だという理屈がわからず、玉砕してしまいました。みなさんのレスを見てうなるばかりだったのです。ふとした機会でWikiPediaに該当の問題の出自が書いてあることがわかりまして、人狼ＢＢＳとからめて問題を書き換えてみたのです…

やっぱり今の私も模範的な回答である「別のドアを選ぶ」ことはできそうにありません。高校数学（理系）の確率ジャンルは点数が取りやすくてオハコだったのですがねぇ。なさけなしです。

3囚人問題の変形ですか。正解は3分の1で、リンク先が間違ってます。残念ながら応用は利きませんね。

#ベイズの定理より、1/6÷(1/6+1/3)=1/3

>　なんかすごい勢いで spam 扱いされていましたが、内容に問題があるというわけではなくて単に spam 判定ルーチンが過剰反応していたようです。ごめんなさい。

反応したのはpercent-encodeされた文字列が並びまくった部分でしょうか。だとするとこのままではWikiにリンクを貼るのが厳しそうです。

>リンク先が間違ってます。

あれ、何言ってんだ＞私。合ってるよ。確率の問題だけど、図示するとわかりやすくなると思うので。

円を書いて3つに分けA,B,Cとします。これでルーレットをして、止まった人が真犯人（残りは無罪）。このときAは残りのどちらが無罪になったかを刑事から知らされます。ただしAが犯人だった場合、刑事がどちらを無罪と答えるかは半々の確率とします。

さっきつくったルーレットのうち、刑事からのタレコミ（謎）でBかCが犯人である可能性が消えます。またAの領域も、自分が犯人だった場合には半分消えます。よって残ったのはAの半分（1/6）とBかCのエリア（1/3）。

この状態でルーレットをするとAが犯人の確率は1/3、残りの人は2/3です。これが応用できない理由は、自分も犯人にされるかされないかに加わっていないと話が成立しないからで、上記"Aが犯人だった場合"に相当するルーレット枠がないからです。

>反応したのはpercent-encodeされた文字列が並びまくった部分でしょうか。

　そういうわけでもありません。URL にマッチする文字列が含まれていると -20 点ですが、URL の内容は見ていません。

　単純に、

・長い

・全角記号類が割とたくさん含まれている

　ので引っかかったようです。

ええとええとええと。馬鹿な私がどこにひっかかっているかを言わないと駄目ですよね。（滝汗）

モンティ・ホールのショーと同じ企画で日本のテレビで行なったとします。で、テレビの中で回答者が最初に扉Ａを選びました。司会者はさっとＣの扉を開けて、羊を見せました。この時点でＢの扉の中に景品がある確率が2/3、というのが模範回答であると、こういうことでしたよね。

で、私はテレビの前の熱心な視聴者です。回答者が扉Ａを最初に選んだそのせつな、私は叫びます。『ばかだなぁ、Ｂだよ、Ｂ！』するとテレビでは司会者が扉Ｃを開けました。羊がメェと鳴きました。私は叫びます。『ほらみろ、ＢだよＢ！』

するとその様子を背後から冷ややかに見ていた私の妹（大学で数学科専攻）がひとこと言いました。『馬鹿なのはお兄ちゃんよ。お兄ちゃんは最初Ｂを選んでいたのだから、今の時点で、扉Ａに景品がある確率は2/3、扉Ｂに景品のある確率は1/3よ。これはね、モンティ・ホールの問題と言って有名なのよ。』

で、WikiPediaの記事を見せられて私は悩むわけです。『するってぇとなんですかい？テレビの中の回答者にとってみると扉Ａに景品がある確率は1/3、俺にとっては扉Ａに景品のある確率は2/3だ、とでもおっしゃるんですかい？えぇ？お代官様！』妹代官様は既に興味を無くし、キッチンでこぽこぽとコーヒーをいれています。テレビでは回答者が扉Ａを選択しようとしています。ダカダカダカダカ…効果音のドラムが鳴っているなか、私はまだ腑に落ちていません。『人の観念が確率を左右するのだろうか？俺以外の視聴者はどちらの扉が好きなんだろうか？』

以上で私の腑に落ちない点を書きました。よろしくお願いいたします。※なお、作り話ですので、数学科の妹はいません。

●モンティーホール・ジレンマの解説

http://www.ip.kyusan-u.ac.jp/J/nagai/monty/monty2.html

これは、選択をしなおす事で景品（どうやら車のよう）を得る確率が2/3であることを自明とおっしゃっています。でも私には全然意図がつかめません。

/// orz /// 雨ざぁざぁ。

●『モンティホールの選択を1000回試行するプログラム(Ruby言語)』を作った人がいます。モンテカルロ法で実験的に確率の推計をしているわけです。この人によれば、最初の選択枝とは別の選択枝を選んだほうが2倍お得、という結論のようです。不思議です。URLは以下の通り。

http://www.bekkoame.ne.jp/~shin_/nikki2001/monty.html

このスレでは（私がデタラメ？書いた、）テレビの前でショーを見ている私と、スタジオでスポットライトを浴びている回答者と、ふたりにとって、確率が異なるのはおかしいだろう？という発言をいたしました。確率は主観的なものでなく客観的なものであるべきだからです。

<cite>http://www.ip.kyusan-u.ac.jp/J/nagai/monty/monty2.html</cite>では、<q>この問題の元の設問は、観測と確率という量子力学の基本問題を連想させる設定になっています。ひとつのドアを開けると確率が変わるのではないかという疑いが頭を掠めます。もしかしたら何か深遠なものが背後にあるのかもしれない、と。</q>説明があります。いやぁ、観測者ごとに確率が違ったら宇宙はビッグバンの時に崩壊しているはず、と愚痴を言ってみたりします。悩ましい…

選択肢A/B/Cとあって、Aを選択した場合それが正解である確率は1/3です。

ということはBもしくはCが正解である確率は2/3です。

Aと(B + C)のどちらを選択するのが得でしょうか。

という話だと思うのですが、なにか見落としてます?

>選択肢A/B/Cとあって、Aを選択した場合それが正解である確率は1/3です。

>ということはBもしくはCが正解である確率は2/3です。

>Aと(B + C)のどちらを選択するのが得でしょうか。

>という話だと思うのですが、なにか見落としてます?

うーん。人狼ＢＢＳジャーゴンで「天然狂人」という単語がありまして、これすなわち独り善がりの思いこみに固執して周囲に迷惑かえまくりのことを意味しているらしいのですが、、、まさしく今私は天然狂人と化しているような気がしてせつないですねぇ。

>Aと(B + C)のどちらを選択するのが得でしょうか。

であるならば、私も(B + C)を取ります。ですが、「Aと(B + C)のどちら」に見えなくて私は困っているのです。

司会者がＣを開けて「これははずれです、ＡとＢのうちどちらにしますか？」と回答者に聞いた瞬間、「AとBのどちらを選択しますか？」の問題に変っている気がするのです。そして、AもBも同じように【確からしい】としかみえないのですね。なので、回答者の鏡像として、テレビの前にすわりこんでいる妹つきの私を登場させて、AとBを同様に確からしいのでは？と聞いて見たわけです。

あ～ん。苦しいよう。滝のような汗をながしつつ･･･

さっきの話の続きで、Cが無罪だったとしましょう。刑事はAに"Cは釈放された"と教えます。このときAが犯人の確率は1/3ですが、Bは2/3です。そのことがわかったAは、容疑者Bにこう言います。

"俺よりもお前が捕まる確率の方が倍だぞ"。しかしBはこう言い返します。"なに、お前と同じ計算を俺にも当てはめれば結果は逆になるさ"。さて、どちらの言い分が正しいでしょうか？

この問題のポイントは、AにいえることはそのままBに当てはめることができないという点にあります。なぜなら刑事がAに"BかCのどちらかが捕まる"と話した時点で、AとBの立場について非対称性が生じているからです。

刑事はたとえAが犯人だったとしても、50％の確率でBかCのどちらかを答えます。これはBにとって不公平なことです。したがって、結果としてAが犯人である見通しはBよりも低くなります。

すなわちスターダストさんの妹（誰）は間違っていて、回答者にとってもお兄ちゃん（誰）にとっても"扉Ａに景品がある確率は1/3"となります。

>選択肢A/B/Cとあって、Aを選択した場合それが正解である確率は1/3です。

>ということはBもしくはCが正解である確率は2/3です。

>Aと(B + C)のどちらを選択するのが得でしょうか。

>という話だと思うのですが、なにか見落としてます?

いや、合ってますよ。http://www.ous.ac.jp/DAS/math/toukei_note/kakomon/2001/2001zp4ans.htm

>この問題のポイントは、AにいえることはそのままBに当てはめることができないという点にあります。なぜなら刑事がAに"BかCのどちらかが捕まる"と話した時点で、AとBの立場について非対称性が生じているからです。

>

>刑事はたとえAが犯人だったとしても、50％の確率でBかCのどちらかを答えます。これはBにとって不公平なことです。したがって、結果としてAが犯人である見通しはBよりも低くなります。

>

>すなわちスターダストさんの妹（誰）は間違っていて、回答者にとってもお兄ちゃん（誰）にとっても"扉Ａに景品がある確率は1/3"となります。

んがぁ。私の頭の中には馬鹿の壁が出来ているようでして。非対称が生じているという感覚といいますかクオリアが出てこないのですよ。とほほほ。ひとさまはどうなのかということでググッて見てはいるのですが、感覚として近いのは以下のURLのページです。対称性を持ちこんでいます。

http://www3.vc-net.ne.jp/~longfish/cgi-bin/ddf/index.cgi?mode=show&tid=00107

また、偏らずに参考文献を列挙しますと、

http://www.qm.ms.osakafu-u.ac.jp/~kayanuma/%8Am%97%A6%82Q.html

http://www.shiozawa.net/fukuzatsukei/monti_hall.html

http://www.doblog.com/weblog/myblog/23684/570517

などでしょうか。最後のページから以下に引用します。題意が異なる類似問題についての提案です。私にはこれすら、わからなくなりました。（笑）

>?３つの箱があって、その中の１つに豪華賞品が入ってます。あなたは１つの箱を選べます。

>?司会者はどの箱に豪華商品が入っているか知りません

>?司会者はあなたが選ばなかった二つの箱のうちの一つを開けてみました。するとたまたま空箱でした

>?そして、あなたに尋ねます。「一度だけ箱を変えてもいいですよ？」と

>あなたは箱を交換しますか？なぜ？

いろいろご教示をありがとうございます。＞皆様。

　司会者は A,B,C のうちのどれか一つを開けます。

　もし単に無作為に一つを開けているなら、残り二つのどちらを選んでも同じでしょう。

　しかし、司会者の行動は回答者の選択に影響を受けているので、そこで対称性が破れます。

　場合分けで考えてみると分かりやすいのではないかと思います。

　仮に、A が正解だったとします。回答者が何を選択するかによって、司会者の行動は以下のようになります。

1. A(正解)を選択した場合

　司会者は B と C のいずれかを無作為に開けます。

　どちらが開けられたとしても、回答者は回答を変更すべきではありません。

2. Bを選択した場合

　司会者は A(正解) を開けることはできません。

　従って司会者は C を開けるしかありません。A(正解) が残ります。

　回答者は回答を変更すべきです。

3. Cを選択した場合

　司会者は A(正解) を開けることはできません。

　従って司会者は B を開けるしかありません。A(正解) が残ります。

　回答者は回答を変更すべきです。

　上記 1 では変更しない方が得ですが、2, 3 では変更した方が得です。

　1 が発生する確率は 1/3, 2,3 のいずれかが発生する確率は 2/3 です。後者である確率の方が高いため、変更した方が当たる確率が高くなります。

　ここでは仮に A を正解としましたが、B, C を正解としても同様の理由で変更した方が当たる確率が高くなります。

　逆に、回答者の選択のほうを固定して考えても良いでしょう。たとえば、回答者が C を選んだとします。正解が何であるかによって、司会者の行動は以下のようになります。

1. Aが正解だった場合

　司会者は A(正解) と C(選択済み) を開けることはできません。司会者は B を開けるしかありません。

　A(正解) が残ります。

　回答者は回答を変更すべきです。

2. Bが正解だった場合

　司会者は B(正解) と C(選択済み) を開けることはできません。司会者は A を開けるしかありません。

　B(正解) が残ります。

　回答者は回答を変更すべきです。

3. C が正解だった場合

　司会者は A, B のどちらかを無作為に開けます。

　いずれにしても、回答者は回答を変更すべきではありません。

　上記 1, 2 では変更した方が得、3. では変更しない方が得です。

　1 あるいは 2 が発生する確率は 2/3, 3. が発生する確率は 1/3 です。

　前者である確率の方が高いため、変更した方が当たる確率が高くなります。

　上記の説明で、「司会者は B を開けるしかない」というような状況が発生していたことに注目してください。

　回答者の選択によって、司会者の行動が制約を受けているのです。

　しかし、テレビの前の妹さん(?)が何を選んでも、それは司会者の行動に影響しませんよね。

　それが回答者と妹さんとの違いを生み出しています。

　……というようなところで、どうでしょう。

>?３つの箱があって、その中の１つに豪華賞品が入ってます。あなたは１つの箱を選べます。

>?司会者はどの箱に豪華商品が入っているか知りません

>?司会者はあなたが選ばなかった二つの箱のうちの一つを開けてみました。するとたまたま空箱でした

>?そして、あなたに尋ねます。「一度だけ箱を変えてもいいですよ？」と

>あなたは箱を交換しますか？なぜ？

　これも場合分けで考えてみましょう。選択した箱を A とします。

　正解が何であったかと、司会者が開けた箱が何であったかによって場合分けします。

1. Aが正解で、Bを開けた(Bが空だった)場合

変更しない方が良いです。

2. B が正解で、Bを開けた場合

このケースはあり得ません。

というか、司会者が B を開けて空だったことによって、このケースではなかったのだということが分かります。

3. C が正解で、Bを開けた場合

変更した方が良いです。

4. Aが正解で、Cを開けた(Cが空だった)場合

変更しない方が良いです。

5. B が正解で、Cを開けた場合

変更した方が良いです。

6. C が正解で、Cを開けた場合

このケースはあり得ません。

司会者が C を開けて空だったことによって、このケースではなかったのだということが分かります。

　2,6 ではあり得ないということが分かっています。1,4 なら変更しない方が良く、3,5 なら変更した方が良いのですが、前者である可能性と後者である可能性のどちらが高いかというと、どちらも同じです。

　よって、変えても変えなくても同じになります。

ばけらさん、解説をありがとうございますっっ。お蔭様でようやく正覚に達しました。（笑）

やはり選択しなおしのほうが2倍お得なのでした。

ところで、関連として。

１：人狼BBSの占い師３人問題とモンティ問題とでは、題意が異なり、『人狼ＢＢＳにおける確率論のモンティ・ホール問題の応用 』は出来ません。なぜなら、私が３人の占い師Ａ、Ｂ，Ｃのうち、Ａが怪しいと思って発言したにも関わらず人狼がＡを襲撃する可能性があるからです。人狼が故意にこの可能性を排してくれるならば話しは別となってきます。

２：対称性をもちこむ為に司会者モンティの前に回答者「あ」と回答者「い」を立たせ、それぞれＡとＢを最初に選択し、次にモンティがＣのドアをあけ「こちらが羊でございます。はずれでした。ところで、『あ』さん、『い』さん、ドアの選択をしなおしても良いですよ、どうしますか？」と聞くケースについて。これも元のモンティ・ホールの問題とは題意が異なることを納得しました。仮にドアＣがはずれだとしてモンティはドアＣをあけざるを得ないところがまず異なります。元々のモンティ問題では、モンティには開けるべきドアを選択することが出来る可能性がありますから。また、『あ』さん、『い』さん、のどちらも選択していないドアの中に景品の車がはいっている場合を考え合わせていません。こうなると、モンティは景品のはいっているドアを空けられませんので、『あ』さん、『い』さんの選んだドアのうち、どちらか一方をあけざるを得ません。『あ』さんか『い』さんのどちらかは、自分が最初に選んだドアがはずれだよと言われることになりますから、元々のモンティ問題（最初に選んだドアをモンティは開けない）からはずれますし、なおかつ、『あ』さんか『い』さんの対称性はくずれます。

３：私が既に提示したいくつかの参考URLの文献の中で、『モンティが開けるドアに傾向がある場合には最終的に得られる回答者の商品をＧＥＴする確率が違ってくる』という主旨の主張がはいっていることがあります。しかしこの主張は間違いです。モンティがどのように気まぐれでも、回答者が、最初に選んだドアとは異なるドアを２回目に選べば、確率2/3で商品をＧＥＴすることでしょう。このことは、ばけらさんの解説によってわかりました。私流に書きなおしてしまいますと次のようになります。

まず、確率論で言うところの「同様に確からしい」場合分けとして３つに分類します。それぞれは等しい確率で発生します。そしてそれぞれのケースにて回答者が商品をＧＥＴする確率を考え、最後に足し合わせれば元々の問題で商品をＧＥＴする確率と等しくなります。ただし、ここではまず、回答者は最初に選んだドアと同じものを意地をはって２回目も選ぶものとします。この確率をψとすると、最初に選んだドアとは別のドアを選ぶ確率は、(１－ψ)です。それではこの方針でψを求める為に場合分けをしてみます。ドアＡ、Ｂ、Ｃがあった時に、回答者が最初に選んだドアをα、残りを適宜β、γと名前を付け替えても良いでしょう。場合分けを3つに分類します。

ケースα：αが商品のドア

ケースβ：βが商品のドア

ケースγ：γが商品のドア

それぞれのケースは等しい確率、すなわち1/3で発生しているものと考えられます。意地をはって最初に選んだドアをモンティの誘いにのらずに２回目も選び続けたとします。すると、回答者が商品をＧＥＴする確率は、ケースαで１、ケースβで０、ケースγで０です。したがって全体では、

ψ=(1/3*1) + (1/3*0) + (1/3*0) = 1/3

となります。最初に選んだドアとは別のドアを選んだ時に商品をＧＥＴする確率は 1-ψ ですから 2/3 となります。以上の論拠では【モンティがドアをどのように選択するかについての情報は一切使っていません】ので、『モンティが開けるドアに傾向がある場合には最終的に得られる回答者の商品をＧＥＴする確率が違ってくる』という命題は偽となります。

上記は『意地をはって最初に選んだドアをモンティの誘いにのらずに２回目も選び続けた』という前提でψを求めました。逆に、『意地をはらずに最初とは別のドアを選ぶ』として、ψを求めなおすとどうなるか。途中の計算では、モンティのドアを開ける好みを確率変数としたものが出てきますが、総体でそれぞれの効果は互いにキャンセルされて確率ψは2/3となります。計算は面倒なので省略します。

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あぁ、これでやっと長かった私の頭の中の闇が晴れました。本当にありがとうございます。モヤっとが晴れてスッキリ。すがすがしいです。

>３：私が既に提示したいくつかの参考URLの文献の中で、『モンティが開けるドアに傾向がある場合には最終的に得られる回答者の商品をＧＥＴする確率が違ってくる』という主旨の主張がはいっていることがあります。しかしこの主張は間違いです。

どの文献ですか（ピュア）。

"モンティが開けるドアに傾向がある"というのは具体的には、Aが当たりだったときにBかCのどちらを開けて見せるか選り好みをする、という意味ですよね。（BかCが当たりの場合には、それぞれもう一方を開けて見せるしか選択肢がありませんから。）

極端な場合を考えて、例えばAが当たりだった場合にモンティは必ずBを開けて見せると仮定しましょう。このとき回答者がCを見せられた場合の、Aが当たりである確率は0%となります（Bを見せられなかったということは、すなわちAが当たりではないと推論できるため）。逆にBを見せられた場合には、Aが当たりである確率は1/2です（AかCかは半々の確率）。

例によって場合分けしなくてはいけないようです。Aが当たりだった場合にモンティがBを見せる可能性をxとして、Bを見せられた場合及びCを見せられた場合の、Aが当たりである確率ψ(B),ψ(C)をそれぞれベイズの定理を用いて定式化すると、

ψ(B)=x/(1-x)

ψ(C)=(1-x)/(2-x)

となります（Aでない方の確率は言うまでもなく1-ψ）。

x=1/2のときψ(B)=ψ(C)=1/3となって、選り好みしない場合の解が再現されます。またx=1を代入するとψ(B)=1/2,ψ(C)=0より、上に挙げた極端な場合の解が再現されます。

>ψ(B)=x/(1-x)

ごめんなさい……ψ(B)=x/(1+x)の間違いです。

ええと、ただいまmyマシンのHDが飛んでいまして、じっくり考えることもできず、応答が遅れております。お許しください。

かんなさんwrote:

>どの文献ですか（ピュア）。

ええと、これです。

http://www.shiozawa.net/fukuzatsukei/monti_hall.html

じっくり考えさせてください。すみません。