水無月ばけらのえび日記

初めまして。

検索エンジンで探してたどり着きました。

実は、２ちゃんねるの数学板で、この問題が取り上げられ、

１／２となるか２／３のままかで議論が続いています。

その掲示板はここです。

http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1040540700/

私は１／２だと思います。

こちらのご説明でも１／２となると考えて良いと読み取れますが

それでよろしいでしょうか。

ちなみに、下記サイトでは、Ａの助かる確率は１／３（つまり処刑される確率は２／３のまま）となることを、エクセルで計算して見せています。

http://homepage2.nifty.com/hashimoto-t/try/prison-j.html

２ちゃんねるの掲示板で２／３と主張する人の根拠も上記サイトの主旨と同じようです。

できましたら両方のサイトをご覧いただき、ご感想をいただきたいと思います。

>私は１／２だと思います。

>こちらのご説明でも１／２となると考えて良いと読み取れますが

>それでよろしいでしょうか。

　逆にお尋ねしたいのですが、どこからそのように読み取られたのでしょうか。

結論から言いますと、看守が「Ｂは処刑される」と言った後でも、

Ａが処刑される確率は２／３になるということがわかりました。

どうして１／２になると思ったかと言いますと

＞看守が「Aが処刑される」と答えた場合、それには二通りの可能性があることに気付くだろう。ひとつは B 生存である場合、もうひとつは C 生存である場合である。さて、どちらである確率が高いだろうか。

ここで、どちらも同じ、すなわち１／２と考えたのです。

＞3人だからわかりにくい。思い切って囚人の数を 10000人に増やし、そのうち 9999人が処刑されるということにしてみる。看守は、処刑される囚人の名前を 9998人掲げた。残るは看守に質問を投げかけた本人と、看守が名前を挙げなかった一人である。さて、この両者のうちどちらが生存しそうだろうか。

上記の例では、最初にＡが処刑される確率は９９９９／１００００です。

しかし、看守が、処刑される囚人の名前を 9998人掲げた時点で、

処刑されるのは質問を投げかけた本人と、看守が名前を挙げなかった一人の二人のうちの一人だけ。

このように、極端な人数を考えることで、看守の言葉により、

その後の確率の考え方が変わるんだよという例を示したものかと思ったのです。

実際にはこの看守の言葉によっては何の情報ももたらされてはいないわけですね。

>ここで、どちらも同じ、すなわち１／２と考えたのです。

　なるほど、そう考えられましたか。

　Bがその質問をした場合、看守は「A処刑」もしくは「C処刑」の回答をしますが、その回答には以下のようなパターンがあります。

A生存の場合 (1/3)

・かならず「C処刑」回答

B生存の場合 (1/3)

　以下のいずれかになる

・「A処刑」回答(1/3×1/2=1/6)

・「C処刑」回答(1/3×1/2=1/6)

C生存の場合 (1/3)

・かならず「A処刑」回答

　「A処刑」情報がもたらされたとき、B生存かつA処刑情報がもたらされた可能性 (1/6) よりも C生存かつA処刑情報がもたらされた可能性 (1/3) の方が高いのです。

>実際にはこの看守の言葉によっては何の情報ももたらされてはいないわけですね。

　そうなりますね。

http://www.tvnet.ne.jp/~muraken5/math/m001.html

が私には面白かったです。ただし、いまいち腑に落ちません。（笑）

正しいとわかっているのに腑に落ちない感じは、気持ち悪いです。

これの変形で、

３つの箱ＡＢＣのどれか一つにだけ入っているダイヤを出演者が当てる番組。

回答者がＡを選んだとき、司会者がいいました。

「Ｂはハズレです。さあ、もう一度選ぶチャンスをあげます。Ｃに取り替えますか？」

このときＡからＣに替えた方が得か？それとも同じか？

というのがありました。

大抵の人が

「ＡかＣの２者択一だからどちらを選んでも同じ」

と答えるそうですが、３囚人の問題と同じで、

答えはＣに替えた方が得ということになりますね。

>大抵の人が

>「ＡかＣの２者択一だからどちらを選んでも同じ」

>と答えるそうですが、

私もです。（キッパリ）

>http://www.tvnet.ne.jp/~muraken5/math/m001.html

>が私には面白かったです。

　うーん、これは分かりやすいですね。

>これの変形で、

>３つの箱ＡＢＣのどれか一つにだけ入っているダイヤを出演者が当てる番組。

　このへんの話ですね。

http://plaza.harmonix.ne.jp/~k-miwa/magic/something/diamond.html

>大抵の人が

>「ＡかＣの２者択一だからどちらを選んでも同じ」

>と答えるそうですが、３囚人の問題と同じで、

>答えはＣに替えた方が得ということになりますね。

　そうなります。

　司会者が残った2つの箱を一つの袋に入れて、「その箱とこの袋のどちらにしますか？」と訊いたのだとしたら、二つの箱が入った袋を選んだ方が得だとすぐに分かると思います。「箱を一つ外した」のも、実はこれと同じことなんですよね。

すると、下記サイトで、最初に引いたトランプがダイヤである確率はどのように考えたらよいのでしょうか。

http://plaza.harmonix.ne.jp/~k-miwa/magic/something/diamond3.html

>>大抵の人が

>>「ＡかＣの２者択一だからどちらを選んでも同じ」

>>と答えるそうですが、

大抵の人のスターダストですが。(^^)

>>３囚人の問題と同じで、

>>答えはＣに替えた方が得ということになりますね。

>　そうなります。

>　司会者が残った2つの箱を一つの袋に入れて、

>　「その箱とこの袋のどちらにしますか？」と訊いたのだ

>　としたら、二つの箱が入った袋を選んだ方が得だと

>　すぐに分かると思います。

等価な問題ではなくなったのでは？

>　「箱を一つ外した」のも、実はこれと同じことなんですよね。

これについては、考えがまとまりません。

－－－－－－－－－

いったん寝床につきましたが

頭が悪くて激しく脳みそが沸騰しています。

しかたがないので、ＰＯＳＴして寝ようと思います。

ええと、等価なものに問題を変形したいと思います。

●３つの箱ＡＢＣのどれか一つにだけ入っているダイヤを出演者が当てる番組。

回答者がＡを選んだとき、司会者がいいました。

「Ｂはハズレです。さあ、もう一度選ぶチャンスをあげます。Ｃに取り替えますか？」

このときＡからＣに替えた方が得か？それとも同じか？

確率を言っているのでしょうから、司会者にとっても回答者にとっても

はたまたその番組を見ている視聴者にとっても確率は同じではないかと、

まず、そういう変形をします。

そこで、司会者になります。私達は司会者のつもりになります。

実は番組が始まる小一時間ほど前に

番組のプロデューサは考えました。

「司会者が回答者の顔色を見ながらヒントを出すと

みのもんたの番組みたいで真似を指摘されるかもしれない。

それではシャクだ」と考えました。

急遽、ＡＤに指示を出し、カーテンを用意しました。

ディレクタにも指示を出しました。

「いいか、回答者が何を選んだかを司会者に見せるな。

見てもいいのは視聴者様と回答者だけにする。

その上で司会者が台本通り、一個だけ不正解を

教えるのは構わない。これで行こう！」

（実はプロデユーサはスポンサーの目も意識していました）

番組が始まりました。

司会者は日頃からプロデユーサのことを快く思っていませんでした。

「くそ、また急に予定を変えやがって。ようし目にものみせてやる」

と思いました。

箱が３つ運ばれてきました。予定通りＢには、当たりがはいっていません。

（ＡとＣのどちらにはいっているかは、事前に知らされません。

プロデユーサのさしがねです。）

回答者が箱の前に立ちます。ＡＤがカーテンを

司会者とのあいだにかけます。

司会者は箱も回答者も見えません。

モニタにも映っていません。

そして司会者の造反が始まりました。

司会者は叫びました。

「さぁ、回答者さん。箱をひとつだけ選ぶのです！

【但し！】とても重要ですよ、

あなたは、心の中だけで、ひとつ箱を選んでください！」

プロデユーサはたまげました。

「こいつは、やりやがった。視聴者にも

（スポンサーにも）回答者が何を選んだか

教えないなんて！」

回答者は、意をけっして、箱をひとつ選びました。

心の中でです。

司会者は言いました。

「回答者さん、Ｂの箱を選びましたか？正直に答えてください」

回答者は答えます。（どきどきしながら）

「いいえ」

司会者は続けます。

「ところで、今日は記念すべき私の妻の誕生日です。

ですから、良い事をお教えしましょう。

Ｂの箱には、当たりははいっていません！

さあ、もう一度選ぶチャンスをあげます。

ＡとＣとどちらを選びますか？」

●●●●●●●●●●●●●●●●

以上が私の不眠症を引き起こした問題です。

スポンサーであろうと、司会者であろうと

回答者であろうと、視聴者であろうと

確率は同じです。

回答者が最初にＡの箱を心の中で

選んだのかＣの箱を選んだのかは

わかりません。

視聴者であるあなたには、

箱Ａと箱Ｃのどちらが有利か判定できますか？

箱Ａと箱Ｃは、回答者の立場では異なるでしょう。

どちらか一方を心の中で選んでいたのですから。

【心の中で】【最初に選んでいた】箱とは

異なるほうの箱を選ぶ事が、ほんとうに

回答者にとって有利ですか？

視聴者である私達にとってはどうでしょう。

司会者の立場ではどうでしょう。

箱Ａと箱Ｃは客観的にみて等価です。

回答者さんの心の中で何がおきようと

（きのうの昼飯のことを考えていたかも）

確率は不動のはずです。

箱Ａと箱Ｃは客観的にみて等価ですので

どちらを選んでも、確率は１／２のはずです。

まぁ、以上のような大胆な問題の変形が

オリジナルの問題の題意をねじまげていないことを

私は保証できませんがね。

とりあえず、これで眠れます。

hoshikuzu|star_dust さんへ

残念ながらオリジナルの問題の題意とは違ってしまうようです。

元の問題では、回答者がＡを選んだ時点で、司会者は

Ａについてはアタリともハズレともいえません。

そのため、「Ｂはハズレです」といえばＡよりＣの方が

「Ｃはハズレです」といえばＡよりＢの方がアタリの確率が高くなるわけです。

hoshikuzu|star_dust さんの設定では、回答者が（心の中で）Ｂを選択していたとしても、司会者は「Ｂはハズレです」と教えてくれるという点で異なります。このときは、Ａ、Ｂ、Ｃのいずれも同条件ですから、

「Ｂはハズレです」といわれた時点でＡ、Ｃのいずれがアタリかは

１／２づつになると思います。

回答者から見ますと、とんでもない司会者ですね。

なぜなら、番組の最初の企画では、アタリの確率を2/3にできたのに、

今回司会者が余計なことをしてくれたばっかりに

アタリの確率が1/2に減ってしまったからです。

ていうか

> プロデユーサ

ってなんですか【ピュア】。とりあえずGoogleで検索したら85件ほど出てきました。ぜんぜん関係ありませんが【謎】「プロデューサ」は346,000件だそうです【謎】。

>ていうか

>> プロデユーサ

>ってなんですか【ピュア】。とりあえずGoogleで検索したら85件ほど出てきました。ぜんぜん関係ありませんが【謎】「プロデューサ」は346,000件だそうです【謎】。

メデユーサではどうでしょう。

http://www.google.co.jp/custom?hl=ja&ie=Shift_JIS&cof=AWFID%3AFSdf6ec1073b0d9964%3BL%3Ahttp%3A%2F%2Fwww8.plala.or.jp%2FWizardry%2Fimage%2Fmonster%2Fmedusa.gif%3BLH%3A295%3BLW%3A180%3BGL%3A2%3BBGC%3Ablack%3BT%3Awhite%3BLC%3Awhite%3BVLC%3Awhite%3BALC%3Awhite%3BGALT%3Awhite%3BGIMP%3Awhite%3BAH%3Aleft%3B&q=%83%81%83f%83%86%81%5B%83T&btnG=Google+%8C%9F%8D%F5&lr=

メデューサでは。

http://www.google.co.jp/custom?hl=ja&inlang=ja&ie=Shift_JIS&cof=AWFID%3AFSdf6ec1073b0d9964%3BL%3Ahttp%3A%2F%2Fwww8.plala.or.jp%2FWizardry%2Fimage%2Fmonster%2Fmedusa.gif%3BLH%3A295%3BLW%3A180%3BGL%3A2%3BBGC%3Ablack%3BT%3Awhite%3BLC%3Awhite%3BVLC%3Awhite%3BALC%3Awhite%3BGALT%3Awhite%3BGIMP%3Awhite%3BAH%3Aleft%3B&q=%83%81%83f%83%85%81%5B%83T&btnG=Google+%8C%9F%8D%F5&lr=

件数がわかりづらいのはそういうことで♪

そんなことより【謎】図書券はいつになったら送ってくるのですかっ【ピュア】。

それとも【謎】やはり【謎】住所と名前をGETするためのソーシャルハックの実演だったのでしょうか【謎】。そんな釣りで俺様【誰】がクマー【ズザザザ】【AA略】

>確率を言っているのでしょうから、司会者にとっても回答者にとっても

>はたまたその番組を見ている視聴者にとっても確率は同じではないかと、

>まず、そういう変形をします。

　もとの問題では、司会者はどの箱にダイヤが入っているのか知っていますし、回答者が 3つの箱のどれを選んだのかを知っているという前提で、選ばれなかった残りの2つの中からはずれの一つを外しています。

　このとき、司会者が「ランダムに一つを外している」のではないことに注意してください。回答者が選ばなかった二つは司会者のフィルタによって一つにされるわけですが、このフィルタは

・残りの中にあたりがあれば (2/3) 必ずそれを残す

・残りの中にあたりがなければ (1/3) ランダムで一つ残す

　というフィルタです。もしアタリがあれば絶対にそれが残るという素敵なフィルタなので、このフィルタを通ったものは正解である可能性が上がります。

　そして回答者が最初に選んだ箱はといえば、回答者がそれを選んだがために司会者のフィルタを通っていません。ここがポイントです。

>以上が私の不眠症を引き起こした問題です。

　こう変形すると等価ではなくなります。

　この問題では、司会者には「Bがハズレ」という情報しか与えられていませんし、司会者のフィルタのは回答者が何を選んだかということと関係なく機能します。回答者が心の中で何を選んでも、フィルタは常にどの箱にも等しく機能します。この場合は B が排除されて A　と C が残りますが、この A と C は両方とも同じフィルタを通っているわけで、条件は全く同じです。

申し訳ございません。事態を把握すべく調べ始めています。

お時間を下さい。今日を含めて3日以内、3/18日までには

調査を完了いたします。調査結果は私信にて申し訳ありませんが

関係各位にご連絡申し上げます。

また、この調査の結果とは別に、平行して本来あるべく

お約束を果します。

大変ご迷惑をおかけしております。

申し訳ございませんでした。