2001年12月14日(金曜日)

サーベロニの問題

サーベロニの問題 (plaza.harmonix.ne.jp)。実は「ダイヤとティッシュ」と全く同じ問題なのですが。

処刑対象者が無作為に選ばれていると仮定する。何の情報もない状態では、囚人A, B, C が生存する確率はそれぞれ 1/3 であり、合計すると 1 になる(起こり得る全てのパターンを網羅しているので)。ここまでは良かろう。
看守の情報により、囚人A が生存する可能性は排除された。A の生存する確率は 0 となった。A, B, C の生存率を合計すると 1 になるのだが、A の持っていた 1/3 は何処へ行くのか。B, C に均等に振り分けて良いのか？
囚人Bが看守から答えを聞く前の状態に立ち戻り、場合わけして考えてみる。
- 囚人A が生存する場合 …… このパターン自体は 1/3 の確率で起こり得る。このとき、看守は迷わずに「Cが処刑される」と答える。
- 囚人B(質問者)が生存する場合 …… このパターン自体は 1/3 の確率で起こり得る。このとき、看守は 1/2 の確率で「Aが処刑される」と答え、1/2の確率で「Cが処刑される」と答える。
- 囚人Cが生存する場合 …… このパターン自体は 1/3 の確率で起こり得る。このとき、看守は迷わず「Aが処刑される」と答える。
看守が「Aが処刑される」と答えた場合、それには二通りの可能性があることに気付くだろう。ひとつは B 生存である場合、もうひとつは C 生存である場合である。さて、どちらである確率が高いだろうか。
3人だからわかりにくい。思い切って囚人の数を 10000人に増やし、そのうち 9999人が処刑されるということにしてみる。看守は、処刑される囚人の名前を 9998人掲げた。残るは看守に質問を投げかけた本人と、看守が名前を挙げなかった一人である。さて、この両者のうちどちらが生存しそうだろうか。

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